Zadania z matematyki

Rozwiąż zadanie

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|, \left|AB\right|=8$. Wysokość trójkąta ABC, poprowadzona z wierzchołka C, ma długość 3. Przekątna CE ściany bocznej tworzy z krawędzią CB podstawy ABC kąt $60°$ (zobacz rysunek). 

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Wybierz poprawną odpowiedź

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm.

Wtedy objętość graniastosłupa jest równa:

Rozwiąż zadanie

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 $m^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem.

Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

– 100 zł za $1m^2$ dna

– 75 zł za $1m^2$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy. 

Rozwiąż zadanie

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD $\left(AB\parallel CD\right)$ . Ramiona tego trapezu mają długości $\left|AD\right|=10 i \left|BC\right|=16$, a miara kąta ABC jest równa

30° . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$ , taki, że $tg\alpha =\frac{9}{2}$ .  Oblicz objętość tego ostrosłupa. 

Rozwiąż zadanie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny

podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa. 

Rozwiąż zadanie

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V=2. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni

całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. 

Rozwiąż zadanie

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu.

Płaszczyzna $\mathrm{\pi }$ , równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty.

Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny $\mathrm{\pi }$ , tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem płaszczyzny $\mathrm{\pi }$ .