Zadanie nr. 15 matura z matematyki 2019 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Przypomnijmy sobie kilka wzorów:

$$\begin{gathered} V=P_p\times H \\ {P}_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ {P}_b=a\times h \\ {P}_c=3\times aH+2\times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$

Wiemy, że 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}V=2\\ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\times H\end{array}\right. \\ 2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\times H \\ 8=a^2\sqrt{3}\times H \\ \mathit{H}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{3}}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P_c\left(a\right)=3\times a\times \frac{8}{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}+2\times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ {P}_c\left(a\right)=\frac{24}{a\sqrt{3}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{a\sqrt{3}\times \sqrt{3}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{a}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\mathbf{8}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\times }{\mathit{a}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}} \\ {P}_c\text{'}\left(a\right)=-8\sqrt{3}\times a^{-2}+\sqrt{3}a \\ {P}_c\text{'}\left(a\right)=0 \\ -8\sqrt{3}\times a^{-2}+\sqrt{3}a=0 /\times a^2 \\ -8\sqrt{3}+\sqrt{3}{a}^3=0 \\ -8+a^3=0 \\ {a}^3=8 \\ \mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$

Skoro pochodna do punktu 2 maleje, a przechodząc przez punkt 2 zaczyna rosnąć, to znaczy, że w punkcie 2 osiąga minimum.

$P_{c}min\left(2\right)=\frac{8\sqrt{3}}{2}+\frac{2^2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{3}}$