Zadanie nr. 9 matura z matematyki 2017 poziom rozszerzony

Rozwiązanie

W treści zadania mamy podaną skalę podobieństwa objętości, możemy więc napisać:

$V_m$ - objętość mniejszego ostrosłupa

$V_d$ - objętość dużego ostrosłupa

$$\begin{gathered} \frac{V_m}{V_d}=\frac{8}{27}=k^3 /\times \sqrt[3]{} \\ \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\sqrt[3]{k^3} \\ \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathit{k} \end{gathered}$$

Obliczmy wysokość czworościanu. Każda jego ściana to trójkąt równoboczny. Wysokość czworościanu dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1. Przypomnijmy sobie wzór

na wyskość trójkąta równobocznego i wykonajmy rysunek pomocniczy:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} a=6 \Rightarrow h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} H^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right)}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2 \\ {H}^2+3=27 \\ {H}^2=24 \\ H=\sqrt{24} \\ H=2\sqrt{6} \end{gathered}$$

Wykonajmy kolejny rysunek pomocniczy, narysujmy mniejszy ostrosłup powstały przez przecięcie większego ostrosłupa płaszczyzną $\mathrm{\pi }$:

Wykorzystując skalę podobieństwa możemy odpiczyć wysokość tego ostrosłupa:  $\left|PC\right|\mathbf{=}\frac{2}{3}\times 2\sqrt{6}= \frac{\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{3}}$

Weźmy teraz trójkąt, który zawiera całą wysokość czworościanu, w podstawie ma $\frac{1}{3}$ wysokości podstawy, a ostatni bok to cała wyskość ściany bocznej:

Wypiszmy potrzebne nam informacje, abyśmy mogli skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i wyliczyć r.

$$\begin{gathered} \left|DE\right|=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3}=\sqrt{3} \\ \left|DS\right|=r \\ \left|SC\right|=H-r=2\sqrt{6}-r \\ \left|CF\right|=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3} \\ \left|FE\right|\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z {∆}_{SFC} \\ {\left|CF\right|}^2+r^2={\left|SC\right|}^2 \\ {\left(2\sqrt{3}\right)}^2+r^2={\left(2\sqrt{6}-r\right)}^2 \\ 12+r^2=24-4r\sqrt{6}+r^2 \\ 4r\sqrt{6}=12 \\ r\sqrt{6}=3 \\ \mathit{r}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{6}}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{6}}}{\sqrt{\mathbf{6}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$